第一讲多元函数的连续性
未央软-11 鲁睿
函数图像：对应规则，公式，图像（二元函数需要使用三维空间），等值集
函数值/映射的像可以是数、点、向量等等
连续性（局部可以使用常值近似），可微性质（局部可以使用线性逼近）
例：欧式空间 \(R^n\) 中三个点 \(P_1,P_2,P_3\) 确定的三角形面积函数 \(S(P_1,P_2,P_3)\) 多元函数，对内积产生的 \(\cos \theta\) 计算
\[
\begin{gathered}
S(P_{1}, P_{2}, P_{3})=\frac{1}{2}|P_{2}-P_{1}||P_{3}-P_{1}| \sin \theta=\frac{1}{2}|P_{2}-P_{1}||P_{3}-P_{1}| \sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\
=\frac{1}{2}|P_{2}-P_{1}||P_{3}-P_{1}| \sqrt{1-(\frac{(P_{2}-P_{1}) \cdot(P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})| \cdot|(P_{3}-P_{1})|})^{2}} \\
=\frac{1}{2} \sqrt{\operatorname{det}(\begin{array}{cc}
\langle P_{2}-P_{1}, P_{2}-P_{1}\rangle & \langle P_{2}-P_{1}, P_{3}-P_{1}\rangle \\
\langle P_{2}-P_{1}, P_{3}-P_{1}\rangle & \langle P_{3}-P_{1}, P_{3}-P_{1}\rangle
\end{array})}
\end{gathered}
\]
使用固定两点，另外一点在一个椭圆上移动可知，当这个点在固定点中垂线上的时候三角形面积最大，有两边长度相等，更换固定点得，周长一定的三角形为等边三角形时最大。该论证有一定问题，没有证明有最大值的情况。固定 \(P_1\) 为原点，考虑所有周长小于等于 \(L\) 的集合
\[
K=\{(P_{2}, P_{3}) \in \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \mid\|P_{2}\|+\|P_{3}\|+\|P_{2}-P_{3}\| \leq L\}
\]
则 \(K\) 是有界闭集，从而 \(S(P_{2}, P_{3})\) 在 \(K\) 上取得最大值 \(S(P_{2}^{*}, P_{3}^{*})\) 。假若
\[
\|P_{2}^{*}\|+\|P_{3}^{*}\|+\|P_{2}^{*}-P_{3}^{*}\|<L
\]
取 \(\lambda=\dfrac{L}{\|P_{2}^{*}\|+\|P_{3}^{*}\|+\|P_{2}^{*}-P_{3}^{*}\|}, P_{k}^{'}=\lambda P_{k}^{*}\)，显然面积变成原来的 \(\lambda^2\) 倍。这与 \(S(P_{2}^{*}, P_{3}^{*})\) 是最大值矛盾。因此
\[
\left\|P_{2}^{*}\right\|+\left\|P_{3}^{*}\right\|+\left\|P_{2}^{*}-P_{3}^{*}\right\|=L
\]
上标为维数的区分，下标为同一维数不同点的区分，对 \(P_{1},P_{2},P_{3}\) 中 \(\mathbf x_{1,2,3}^j\)
\[
S(P_1,P_2,P_3)=\frac{1}{2} \sqrt{\sum_{1\leq i<j \leq n}\left|\begin{array}{cc}\mathbf x_{2}^{i}-\mathbf x_{1}^{i} & \mathbf x_{3}^{i}-\mathbf x_{1}^{i} \\ \mathbf x_{2}^{j}-\mathbf x_{1}^{i} & \mathbf x_{3}^{j}-\mathbf x_{1}^{j}\end{array}\right|^{2}}=\frac{1}{2} \sqrt{\sum_{1\leq i<j \leq n}\left|\begin{array}{ccc}1&1&1\\ \mathbf x_{1}^{i} & \mathbf x_{2}^{i} & \mathbf x_{3}^{i} \\ \mathbf x_{1}^{j} & \mathbf x_{2}^{j} & \mathbf x_{3}^{j}\end{array}\right|^{2}}
\]
（向量值）函数：映射 \(f:A\to R^{\ p}\)，\(f(\mathbf x)=(f^1(\mathbf x),f^2(\mathbf x),\cdots,f^p(\mathbf x))\)
其中 \(f^{k}:A\to R\) 是函数，将 \(f(\mathbf x)\in R^{p}\) 映射后的向量“作用点”附着于\(\mathbf x\) 处，称为数量场（物理中称为纯量场）
等值集：\(\Sigma_{\mathbf{y}}=f^{-1}(\mathbf{y})=\{\mathbf{\mathbf x} \in A \mid {f(\mathbf{\mathbf x})}=\mathbf{y}\}\)
微积分的一个目标是通过局部线性近似来研究函数，所以需要空间是向量空间（线性空间）或者局部近似的空间（微分流形）
距离，满足对称，正定，三角形不等式，可以度量两个点的远近程度。：
\[
\begin{gathered}
\text { (对称) } \quad d(\mathbf{x}, \mathbf{y})=d(\mathbf{y}, \mathbf{x}) \\
\text { (正定) } \quad d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \geq 0, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^{m}, d(\mathbf{x}, \mathbf{y})=0 \Longleftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{y} \\
\text { (三角形不等式) } \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in R^{m}, d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \leq d(\mathbf{x}, \mathbf{z})+d(\mathbf{z}, \mathbf{y})
\end{gathered}
\]
若 \(d(\mathbf x+\mathbf z,\mathbf y+\mathbf z)=d(\mathbf x,\mathbf y),\forall \mathbf x,\mathbf y,\mathbf z\in R^m\)，称为距离 \(d\) 是平移不变的
范数，满足正定，三角形不等式，正齐次性，范数可以度量向量的“长度”：
\[
\begin{gathered}
(\text { 正定 }) \quad\|\mathbf{x}\| \geq 0, \forall \mathbf{x} \in R^{m},\|\mathbf{x}\|=0 \Longleftrightarrow \mathbf{x}=0 \\
\text { (三角形不等式) } \quad \forall \mathbf{x}, y, z \in R^{m},\|\mathbf{x}+y\| \leq\|\mathbf{x}\|+\|y\| \\
\text { (正齐次性) } \quad \forall \mathbf{x} \in R^{m}, \forall \lambda \in R,\|\lambda \mathbf{x}\|=|\lambda|\|\mathbf{x}\|
\end{gathered}
\]
范数和凸集一一对应 \(\{x\mid \|x\|\leq 1\}\Longleftrightarrow 凸\)
内积，满足对称，正定，双线性：
\[
\begin{gathered}
\text { (对称) } \quad\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle=\langle\mathbf{y}, \mathbf{x}\rangle \\
\text { (正定) } \quad\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle \geq 0, \forall x \in R^{m},\langle\mathbf{x}, \mathbf{x}\rangle=0 \Longleftrightarrow \mathbf{x}=0 \\
\text { (双线性) } \quad \forall \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in R^{m},\langle\lambda \mathbf{x}+\mu \mathbf{y}\rangle=\lambda\langle\mathbf{x}\rangle+\mu\langle\mathbf{y}\rangle
\end{gathered}
\]
代表方向长度，可以计算面积体积之类的度量
p-范数：\(\displaystyle \|\mathbf{\mathbf x}\|_{p}=\left(\sum_{i=1}^{m}\left|\mathbf x^{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\)，对应可以定义一个平移不变的距离 \(\displaystyle \|d_{p}(\mathbf x,\mathbf y)\|=\left(\sum_{i=1}^{m}\left|\mathbf x^{i}-\mathbf y^{i}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}\)，当
\(p=2\) 时，为欧几里得距离；当 \(p=1\) 时为曼哈顿距离或出租车距离；当 \(p\to +\infty\) 时，
\(d_{p}(\mathbf x,\mathbf y)\to \underset{1\leq i\leq m}{max}|{\mathbf x^i-\mathbf y^i}|=d_{\infty}(\mathbf x,\mathbf y)\)，对范数也可定义无穷范数 \(\|\mathbf x\|_{\infty}=\underset{1\leq i\leq m}{\max}|x^{i}|\)
图一展示了 \(p\geq 1\) 的情形，对应凸集；图二展示了 \(p<1\) 的情形，对应凹集
\(\|\mathbf{\mathbf x}\|_{\infty} \leq\|\mathbf{\mathbf x}\|_{p} \leq m^{\frac{1}{p}}\|\mathbf{\mathbf x}\|_{\infty}\)，在有限维空间下，对 \(R^m\) 的任意范数均有
\[
\begin{aligned}\|\mathbf{\mathbf x}\| &=\left\|\mathbf x^{1} \mathbf{e}_{1}+\cdots+\mathbf x^{m} \mathbf{e}_{m}\right\| \leq \left|\mathbf x^{1}\right|\left\|\mathbf{e}_{1}\right\|+\cdots+\left|\mathbf x^{m}\right|\left\|\mathbf{e}_{m}\right\| \\ & \leq \max_{1\leq k \leq m}\left|\mathbf x^{k}\right|\left(\left\|\mathbf{e}_{1}\right\|+\cdots+\left\|\mathbf{e}_{m}\right\|\right|=M\|\mathbf{\mathbf x}\|_{\infty} . \end{aligned}
\]
则通过 \(\mbox{Cauchy}\) 收敛准则可知，在 \(\mathbb{R}^{m}\) 中，有界，收敛，极限这些概念与范数的选取无关。可以任意选取范数验证相关 \(\epsilon -\delta\) 语言
矩阵的范数定义：\(\|A\|=\underset{\|\vec{x}\|=1}{max}\|A\vec{x}\|\)，正定性、正齐次性易证明，其中三角不等式证明如下
即证明 \(\left\|L_{2}+L_{1}\right\| \leq\left\|L_{2}\right\|+\left\|L_{1}\right\|, L_{1}, L_{2} \in \mathbb{R}^{n \times m}\) 。设 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{m}\) ，有
\[
\begin{gathered}
\left\|\left(L_{2}+L_{1}\right) \mathbf{x}\right\| \leq\left\|L_{2} \mathbf{x}\right\|+\left\|L_{1} \mathbf{x}\right\| \quad \text { (向量范数的三角形不等式) } \\
\leq\left\|L_{1}\right\|\|\mathbf{x}\|+\left\|L_{2}\right\|\|\mathbf{x}\| \quad \text { (定义) } =\left(\left\|L_{1}\right\|+\left\|L_{2}\right\|\right)\|\mathbf{x}\|\\
\therefore \frac{\left\|\left(L_{1}+L_{2}\right) \mathbf{x}\right\|}{\|\mathbf{x}\|} \leq\left\|L_{2}\|+\|L_{1}\right\|
\end{gathered}
\]
要证明 \(\left\|L_{2} L_{1}\right\| \leq\left\|L_{2}\right\|\left\|L_{1}\right\|, L_{1} \in \mathbb{R}^{m \times n}, L_{2} \in \mathbb{R}^{n \times p}\) 。设 \(\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{p}\) ，有
\[
\begin{array}{rlr}
\left\|L_{1} L_{2} \mathbf{x}\right\| & \leq\left\|L_{1}\right\|\left\|\left(L_{2} \mathbf{x}\right)\right\| & \text { (定义) } \\
& \leq\left\|L_{1}\right\|\left\|L_{2}\right\|\|\mathbf{x}\| & \text { (定义) }
\end{array}
\]
又因 \(\dfrac{\left\|L_{1} L_{2} \mathbf{x}\right\|}{\|\mathbf{x}\|} \geq\left\|L_{2}\right\|\left\|L_{1}\right\|\)，得证
多元函数连续： \(E\subseteq R^m,\forall \ \epsilon >0,\exists \ \delta_{\epsilon}>0,s.t.\mathbf x\in E,\|\mathbf x-\mathbf a\|<\delta_{\epsilon}\Longrightarrow \|f(\mathbf x)-f(\mathbf a)|<\epsilon\)
则称 \(f:E\to R^n\) 在 \(\mathbf a\in E\) 处连续。常值映射，两个连续函数的复合映射，线性映射，\(k-\)重线性映
射都是连续映射。
例：任何双线性映射 \(B\)：\(\mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{p}\) 都是连续映射。对两空间的基底和多元函数放缩得
\[
\begin{aligned}\|B(\mathbf{x}, \mathbf{y})\| &=\left\|\sum_{i, j} x^{i} y^{j} B\left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{f}_{j}\right)\right\| \leq \sum_{i, j} \mid x^{i}\left\|y^{j}\right\| B\left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{f}_{j}\right) \| \\ & \leq\|\mathbf{x}\|_{\infty}\|\mathbf{y}\|_{\infty} \sum_{i, j}\left\|B\left(\mathbf{e}_{i}, \mathbf{f}_{j}\right)\right\|=M\|\mathbf{x}\|_{\infty}\|\mathbf{y}\|_{\infty} \end{aligned}
\]
从而替换为无穷范数得
\[
\begin{aligned}
&\left\|B(\mathbf{x}, \mathbf{y})-B\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right\| \\
\leq &\left\|B\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right)\right\|+\left\|B\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right\|+\left\|B\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right)\right\| \\
\leq & M\left(\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right\|_{\infty}\left\|\mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right\|_{\infty}+\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right\|_{\infty}\left\|\mathbf{y}_{0}\right\|_{\infty}+\left\|\mathbf{x}_{0}\right\|_{\infty}\left\|\mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right\|_{\infty}\right) .
\end{aligned}
\]
对任意 \(\varepsilon>0\), 当
\[
\max \left\{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right\|_{\infty},\left\|\mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right\|_{\infty}\right\}<\frac{\varepsilon}{\varepsilon+3 M\left(1+\left\|\mathbf{y}_{0}\right\|_{\infty}+\left\|\mathbf{x}_{0}\right\|_{\infty}\right)}
\]
时, \(\left\|B(\mathbf{x}, \mathbf{y})-B\left(\mathbf{x}_{0}, \mathbf{y}_{0}\right)\right\|<\varepsilon_{0}\) 所以 \(B\) 是连续映射。
有界闭集上的连续映射：称 \(E \subseteq \mathbb{R}^{m}\) 是一个闭子集, 如果点列 \(\left\{\mathbf {x}_{n}\right\}\) 满足对任意 \(n \geq 1\), \(\mathbf{x}_{n} \in E\), 且 \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbf{x}_{n}=\mathbf{x}^{*}\), 则 \(\mathbf{x}^{*} \in E\) 。(E对极限封闭)
对称线性变换的特征值和特征向量，对称：\(\langle Ax,y \rangle=\langle x,Ay \rangle\)（内积可置换性）
\(\mathbf{v}_1\) 对应最大值，任取与 \(\mathbf{v}_1\) 正交的单位向量 \(\mathbf{u}\in K\)，则考虑 \(g(\theta)=f(\cos \theta\mathbf{v}_1+\sin \theta\mathbf{u})\)
\[
\begin{aligned}
g(\theta) &=\left\langle A\left(\cos \theta \mathbf{v}_{1}+\sin \theta \mathbf{u}\right), \cos \theta \mathbf{v}_{1}+\sin \theta \mathbf{u}\right\rangle \\
&=\cos ^{2} \theta f\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\sin ^{2} \theta f(\mathbf{u})+2 \sin \theta \cos \theta\left\langle A \mathbf{v}_{1}, \mathbf{u}\right\rangle \\
&=g(0)+2 \theta\left\langle A \mathbf{v}_{1}, \mathbf{u}\right\rangle+o(\theta), \quad \theta \rightarrow 0
\end{aligned}
\]
\(g'(0)=2\langle A \mathbf{v}_{1}, \mathbf{u}\rangle=0\)
由于行列式函数连续，从而对任意可逆实数方阵 \(A\)，总存在 \(\delta(A)>0\)，当 \(\|A-B\|<\delta\) 时，\(B\) 也可逆
对行列式函数是连续的，非零量“微扰”后也为非零量，进而可逆
压缩映射原理（地图纸和现实世界存在唯一的点恰好不动）：设 \(E \subseteq \mathbb{R}^{m}\) 是一个闭子集, 映射 \(f: E \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) 满足 \(f(E) \subseteq E\), 且存在常数 \(0<\lambda<1\) 使得
\[
\|f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})\| \leq \lambda\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|, \quad \forall\ \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E .
\]
则存在唯一的 \(\mathbf{x}^{*} \in E\) 使得: \(f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{x}^{*}\), 且对任意 \(\mathbf{x} \in E\), 迭代点列 \(\mathbf{x}_{n}=f^{n}(\mathbf{x})\) 收敛到 \(\mathbf{x}^{*}\)
\[
\begin{aligned}
\left\|\mathbf{x}_{n+p}-\mathbf{x}_{n}\right\| & \leq \sum_{k=1}^{p}\left\|\mathbf{x}_{n+k}-\mathbf{x}_{n+k-1}\right\| \leq \sum_{k=1}^{p} \lambda^{n+k-1}\|f(\mathbf{x})-\mathbf{x}\|
\leq \frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}\|f(\mathbf{x})-\mathbf{x}\|
\end{aligned}
\]
所以 \(\left\{\mathbf{x}_{n}\right\}\) 是 Cauchy 列, 从而存在 \(\mathbf{x}^{*} \in \mathbb{R}^{m}\) 使得 \(\lim\limits_{n \rightarrow+\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x}^{*}\) 。 因为 \(E\) 是闭集, 所以 \(\mathbf{x}^{*} \in E\) 。
\[
\begin{aligned}
\left\|f\left(\mathbf{x}^{*}\right)-\mathbf{x}^{*}\right\| & \leq\left\|f\left(\mathbf{x}^{*}\right)-f\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right\|+\left\|f\left(\mathbf{x}_{n}\right)-\mathbf{x}^{*}\right\| \\
& \leq \lambda\left\|\mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}_{n}\right\|+\left\|\mathbf{x}_{n+1}-\mathbf{x}^{*}\right\| \rightarrow 0, \quad n \rightarrow+\infty
\end{aligned}
\]
所以 \(f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\mathbf{x}^{*}\) 。让最初的不等式中 \(p \rightarrow+\infty\), 得到
\[
\left\|\mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}_{n}\right\| \leq \frac{\lambda^{n}}{1-\lambda}\|f(\mathbf{x})-\mathbf{x}\|_{\circ}
\]
证明矩阵求逆是连续映射：
引理：只要 \(\|B\|<1\)，有 \(I-B\) 可逆，且有 \(\|(I-B)^{-1}-I\|\leq \dfrac{\|B\|}{1-\|B\|}\)
对 \((I-B)(I+C)=I\Longrightarrow C=B+BC\)，考虑映射 \(f(C)=B+BC\)，其满足压缩映射（\(\|B\|=\lambda<1\)）
\[
\|f(C_1)-f(C_2)\|=\|B(C_1-C_2)\|\leq \|B\|\|C_1-C_2\|
\]
从而 \(\exists\ ! \ C_0,s.t.C=B+BC\)，\(I-B\) 可逆，且有
\[
\begin{gathered}
\|C\|=\|B+BC\|\leq \|B\|\|I+C\|\leq\|B\|(1+\|C\|)\quad\\ \|(I-B)^{-1}-I\|\leq \dfrac{\|B\|}{1-\|B\|}
\therefore\ A\ 可逆\ \mbox{and}\ \|\small \Delta \normalsize A\|<\dfrac{1}{\|A^{-1}\|}\Longrightarrow A+\small \Delta \normalsize A\ 可逆
\end{gathered}
\]
对于小扰动，总能被 \(\|\small \Delta \normalsize A\|\) 控制，从而求逆是连续映射
\[
\begin{gathered}
\left\|(A+\Delta A)^{-1}-A^{-1}\right\|=\left\|\left(I+A^{-1} \Delta A\right)^{-1} A^{-1}-A^{-1}\right\| \\
\leq\left\|A^{-1}\right\|\left\|\left(I+A^{-1} \Delta A\right)^{-1}-I\right\|\leq \frac{\left\|A^{-1}\right\|^{2}\|\Delta A\|}{1-\left\|A^{-1}\right\|\|\Delta A\|}
\end{gathered}
\]
道路连通集：对任意 \(\mathbf{x}, \mathbf{y} \in E\), 存在连续映射 \(f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{m}\) 使得 \(f(0)=\mathbf{x}, f(1)=\mathbf{y}\), 且对任意
$0 \leq t \leq 1, f(t) \in E $，下图均为道路连通集
例：\(m\) 阶可逆矩阵的全体不是道路连通的。由于 \(\det\) 是连续函数，有 \(\det I=1,\det (-\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\cdots,\mathbf{e}_m)=-1\)
两者一定经过 \(0\)（不可逆），从而不是连续函数
对平面上的点，使用字典序 \(\begin{cases}x_1>x_2\\y_1>y_2,\mbox{when}\ x_1=x_2\end{cases}\)，\(Abel>Direclet\)
二维或者更高维数线性空间中不存在一个全序，使得它空间中由范数给出的拓扑相容。只有一维数轴是满足的。
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