微积分笔记第二讲（多元函数的极限）

未央软-11 鲁睿

聚点：设 \(E\subseteq\mathbb{R}^{m}\)，若 \(\forall \ \delta > 0 ,\exists \ \mathbf{x}\in E,s.t.\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^*\|<\delta\)，称 \(\mathbf{x}^*\) 为 \(E\) 的一个聚点。

多元函数极限：设 \(\mathbf{x}^*\) 为 \(E\) 的一个聚点，对 \(A\in \mathbb{R}^p\) 和映射 \(f:E\to \mathbb{R}^p\)，有 \(\lim\limits_{\mathbf{x}\to \mathbf{x}^*}f(\mathbf{x})=A\)，有

\[ \forall \varepsilon>0, \exists \delta_{\varepsilon}>0, s.t. \forall \mathbf{x} \in E, {0<}\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}\right\|<\delta_{\varepsilon} \Rightarrow\|f(\mathbf{x})-A\|<\varepsilon \text {. } \]

\(\mathbf{x}^*\) 甚至可以不再定义域内，依靠其他 \(\mathbf{x}\) 逼近

复合极限：（极限复杂度大于连续）\(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 分别为 \(E\) 和 \(F\) 的聚点，有 \(\lim\limits_{\mathbf{x}\to \mathbf{a}}=\mathbf{b}\)，只有两种情况有 \(\lim\limits_{\mathbf{y}\to \mathbf{b}}g(f(\mathbf{x}))=A\)

\[ \begin{cases} g\ 在\ \mathbf{b} \ 连续, A=g(\mathbf{b})\\ \lim\limits_{y\to \mathbf{b}}g(y)=A,且\ {f(\mathbf{x})\neq \mathbf{b},当\ \mathbf{x}\to \mathbf{a}} \end{cases} \]

也就是要保证 \(g\) 在 \(\mathbf{b}\) 处不能“乱跳”

例：求极限 \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}\)，就只需要考虑 \(g(\rho)=\dfrac{\ln(1+\rho)}{\rho}\)，有 \(\lim\limits_{\rho\to 0}g(\rho)=1\)，且有 \(\rho=f(x,y)=x^2+y^2\neq0\)，从而极限为 \(1\)

例：求极限 \(\lim\limits_{(x,y)\to (1,0)}(x+y)^{\frac{x+y+1}{x+y-1}}\)，有底数大于等于零以及分母不为 \(0\)，考虑 \(g(z)=(1+z)^{\frac{z+2}{z}}\)，且 \(f(z)=x+y-1\neq0\)，\(\lim\limits_{z\to 0}g(z)=e^2\)，从而极限为 \(e^2\)

例：求极限 \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}x^y\) ，令 \(x^{y}=e^{y\ln x}\) ，该函数在定义域内处处连续，若构造一种 \(y=\dfrac{-1}{|\ln x|^{\alpha}}\)，代入有

\[ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\frac{-1}{|\ln x|^{\alpha}}}= \begin{cases}\mathrm{e}, & \alpha=1 \\ +\infty, & 0<\alpha<1 ; \\ 1, & \alpha>1\end{cases} \]

例：讨论极限 \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{2xy}{x^2+y^2}\)，沿着曲线 \(y=Cx^{\alpha}(\alpha>0,C\neq 0)\)

代入有

\[ \lim _{\left(x, C x^{\alpha}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x C x^{\alpha}}{x^{2}+C^{2} x^{2 \alpha}}= \begin{cases}0, & \alpha>0, \alpha \neq 1 \\ \dfrac{2 C}{1+C^{2}}, & \alpha=1\end{cases} \]

从而极限不存在，但其累次极限存在，且两种累次极限相等

\[ \lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{2xy}{x+y^2}=\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{2xy}{x+y^2}=0 \]

例：讨论极限 \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}\dfrac{x^2+y^2}{x+y}\)，沿着曲线 \(y=-x+Cx^{\alpha}(\alpha>0,C\neq 0)\)，这样将分母成为一个单独的项，有

\[ \lim _{\left(x,-x+C x^{\alpha}\right) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\left(-x+C x^{\alpha}\right)^{2}}{C x^{\alpha}}= \begin{cases}\infty, & \alpha>2 \\ \frac{2}{C}, & \alpha=2 \\ 0, & 0<\alpha<2\end{cases} \]

按一般思想应该是 \(0\)，但是 \((x,y)\) 的趋势可以任意构造，从而重极限不能直接借助一元微积分的经验，若分成多次过程，则称为累次极限

例：求极限 \(\lim\limits_{x\to 0,y\to \infty}(1+x)^{\frac{y+1}{xy}}\)，代换 \(u=\dfrac{1}{y}\)，有 \(x\to 0,y\to \infty\)，当且仅当 \(x\to 0,u\to 0\)，从而

\[ \lim\limits_{x\to 0,y\to \infty}(1+x)^{\dfrac{y+1}{xy}}=\lim\limits_{x,u\to 0}e^{\dfrac{\ln (1+x)}{x}\cdot \dfrac{1+u}{1}}=e^{1}=e \]

例：讨论 \(f(x,y)=\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\) 极限，其重极限不存在 ，这是由于 \(\lim\limits_{(x,kx)\to (0,0)}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{1-k^2}{1+k^2}\) ，而两种累次极限不同 \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=1,\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=-1\)

例：设 \(E=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid \dfrac{|x|}{2}\leq |y|\leq 2|x|\},f:E\to R,f(x,y)=1\)，二重极限存在 \(\lim\limits_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=1\)，但是 \(\lim\limits_{x\to 0}\lim\limits_{y\to 0}f(x,y)\) 和 \(\lim\limits_{y\to 0}\lim\limits_{x\to 0}f(x,y)\) 都不存在（无法定义）

更一般地，能交换顺序的极限都需要满足一定条件（累次极限、积分和求导）

定理：如果 \(\lim\limits _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y)\) 和累次极限 \(\lim\limits _{y \rightarrow b} \lim\limits _{x \rightarrow a} f(x, y)\) 都存在, 则二者的值相等。

大 \(O\) 和小 \(o\) ：（大 \(O\) 是用一个常数“管制”，小 \(o\) 可以用任意小的 \(\epsilon\) “管制”）

当 \(\mathbf{x}\to \mathbf{a}\) 时，\(f=O(g)\)：存在 \(a\) 的去心领域 \(U\) 和常数 \(M>0\)，使得 \(\mathbf{x}\in U\)，都有 \(\|f(\mathbf{x}\|\leq M\|g(\mathbf{x})\|\)

当 \(\mathbf{x}\to \mathbf{a}\) 时，\(f=o(g)\)：对 \(\forall \ \epsilon >0\)，存在 \(a\) 的去心领域 \(U_\epsilon\) ，使得 \(\mathbf{x}\in U\)，都有 \(\|f(\mathbf{x}\|\leq \epsilon\|g(\mathbf{x})\|\)

当 \(\mathbf{x}\to \mathbf{a}\) 时，\(f,g\) 同阶：\(f=O(g)\) 且 \(g=O(f)\)

当 \(\mathbf{x}\to \mathbf{a}\) 时，\(f,g\) 等价：\(g=f+o(f)\)

范数等价性可以表述为：对 \(\forall \ \|\cdot\|\)，\(\|\mathbf{x}\|=O(\|\mathbf{x}\|_{\infty}),\|\mathbf{x}\|_{\infty}=O(\|\mathbf{x}\|\)

\(\mathbb{R}^{m}\) 上的所有范数都是同阶的

所有 \(k-\)重线性映射 \(L\)，都是一个 \(k-\)次性，教材上使用 \(\lim\limits_{\rho\to 0}\dfrac{f(\mathbf{x})}{\rho^{k}}=C\neq0\) 会出现问题

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