微积分第3讲笔记（多元函数的导数与微分）

未央软-11 鲁睿

对于一元函数的导数定义：$f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$，对于多元时 $\mathbf{x}-\mathbf{x_0}$ 是向量，无法成为分母。

解决方法 $1$：沿向量求导 $\partial _{\mathbf{v}}f(\mathbf{x}^*)=\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{f(\mathbf{x}_0+t\mathbf{v})-f(\mathbf{x}_0)}{t}$，设 $E\subseteq \mathbb{R}^m$，若 $\exists\ \delta >0,s.t.\forall \ \mathbf{x}\in \mathbb{R}^m,\|\mathbf{x}-\mathbf{x_0}\|<\delta\Longrightarrow \mathbf{x}\in E$，称 $\mathbf{x}_0$ 为内点

对经过 $x^* $ 处斜率为 $\vec{v}$ 的任意曲线均成立 $\partial_{\vec{v}} f(x^*)=Const,\ \mbox{for any curve }$

方向导数：（将 $\vec{v}$ 单位化，将导数定义在像空间） $f$ 在 $\mathbf{x}^*$ 处沿着单位向量 $\mathbf{v}$ 所在方向的方向导数为

\[ \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(\mathbf{x}^{*}+t \mathbf{v}\right)-f\left(\mathbf{x}^{*}\right)}{t}=\lim _{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}^{*}} \frac{f(\mathbf{x})-f\left(\mathbf{x}^{*}\right)}{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{*}\right\|} \]

解决方法 $1'$：偏导数，$\dfrac{\partial }{\partial x^{k}}f(x^{1},x^2,\cdots,x^{m})$，$x=x^1\mathbf{v}_1+\cdots x^m\mathbf{v}_m$，则记

\[ \partial_{k} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\frac{\partial f}{\partial x^{k}}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\partial_{\mathbf{v}_{k}} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(\mathbf{x}^{*}+t \mathbf{v}_{k}\right)-f\left(\mathbf{x}^{*}\right)}{t} \]

为 $f $ 在 $x^*$ 处对坐标架 $x^{k}$ 的偏导数

偏导数只能代表函数极少一部分性质（构造十字架“高高在上”，其余函数值在下方，该十字架在 $x$ 和 $y$ 方向上偏导数都是 $0$ ，但是该十字架在交叉处不可导）

有一般情况下，坐标系是局部的、非线性的坐标系

解决方法 $2$：多元函数的原像空间是多维空间，多维空间并不是一些一维空间的简单汇集，其包含了无穷多个一维空间，且是无穷多个一维空间的有机结合

引入映射的可微性与微分（将导数定义为连接原空间和像空间的法则）：设 $E \subseteq \mathbb{R}^{m}, \mathrm{x}^{*}$ 是 $E$ 的一个内点。称 $f: E \rightarrow \mathbb{R}^{p}$ 在 $\mathrm{x}^{*}$ 处可微，如果存在线性映射 $L: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{p}$ (称为 $f: E \rightarrow \mathbb{R}^{p}$ 在 $\mathbf{x}^{*}$ 处的导数或微分, 记为 $\mathrm{D} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)$ ）使得

\[ f\left(\mathbf{x}^{*}+\mathbf{v}\right)=f\left(\mathbf{x}^{*}\right)+L(\mathbf{v})+o(\|\mathbf{v}\|), \quad \mathbf{v} \rightarrow \mathbf{0} . \]

$\left(p=1\right.$ 时更常称为微分, 记为 $\left.\mathrm{d} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)\right)$

例：证明 $\mbox{inv}:\mathcal{G L}(m) \rightarrow \mathcal{G L}(m), \quad \operatorname{inv}(A)=A^{-1}$ 是可微映射，并求其微分。

由 $\mbox{inv}(I-B)=I+C=I+B+CB$，其中 $\|CB\|\leq \dfrac{\|B\|^2}{1-\|B\|}\to o(B)$

则 $\mbox{inv}(A_0+B)=(A_0(I+A_0^{-1}B))^{-1}=(I+A_0^{-1}B)^{-1}A_0^{-1}=(I-A_0^{-1}B+o(B))A_0^{-1}$

从而其可微， $\mbox{Dinv}(A_0)(B)=-A_0^{-1}BA_0^{-1}$

$dx,dy,dz$ 本质上是坐标线性函数，对于空间中任意一组基，$\mathbf{v}_{1},\cdots ,\mathbf{v}_{m}$，取 $\mathbf{v}^{*1},\cdots ,\mathbf{v}^{*m}$ 为 $\mathbf{v}_{1},\cdots ,\mathbf{v}_{m}$ 的对偶基 $\mathbf{v}^{*k}:\boldsymbol R^{m}\to \boldsymbol R$ 为线性函数

可以推出 $df(\mathbf{x}^*)=(\partial _1f\quad \cdots\quad \partial _mf)\begin{pmatrix}dx^1\\\vdots\\dx^{m}\end{pmatrix}$

对于 $df=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy+\dfrac{\partial f}{\partial z}dz$，本质上是 $df$ 这个坐标函数可以写成 $dx,dy,dz$ 这三个坐标函数的线性组合

对行列式函数微分有 $D \det(A)(B) = \tr(A^*B)$， $\det(A+B)=\det(A)+\tr(A^*B),B\to 0$

则定义 $e$ 的矩阵幂 $e^{A}:=\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{A^n}{n!}$，考虑行列式函数 $f(t)=\det (e^{tA})$

\[ \dfrac{df(t)}{dt}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\det(e^{(t+\Delta t)A})-\det(e^{tA})}{\Delta t}=\lim\limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\det(e^{tA})\cdot (\det(e^{\Delta tA})-1)}{\Delta t} \]

而 $\det(e^{\Delta t A})\approx \det(I+\Delta tA)=1+\tr(A)\Delta t,\Delta t\to 0$，即 $\det'(e^{\Delta tA})=\tr(A)$

则 $\displaystyle \dfrac{df(t)}{dt}=\tr(A)\cdot \det(e^{tA})=\tr(A)f(t)$，该微分方程解为 $f(t)=\det(e^{tA})=e^{t\tr(A)}$

对极坐标 $\begin{pmatrix}dx\\dy\end{pmatrix}=\hat{\rho}\begin{pmatrix}\cos \theta\\\sin \theta\end{pmatrix}+\rho \hat{\theta}\begin{pmatrix}-\sin \theta\\\cos \theta\end{pmatrix}$，代表坐标架的变换，这两个方向是正交的，但是长度不是单位的，有

\[ \mathbf{e}_{r}=\left[\begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right]\quad \mathbf{e}_{\theta}=\left[\begin{array}{c} -r \sin \theta \\ r \cos \theta \end{array}\right] \]

微分的形式不变性：对任意坐标系，$du=\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\partial _{x^{j}}udx^j=\displaystyle \sum_{j=1}^{m}\partial _{y^{j}}udy^j$

梯度的定义：先对可以几何直观现实的情况：设$L:\mathbb{R}^{m}\to R$ 为线性映射，若 $\forall \ \vec{v}\in \mathbb{R}^m$，都有 $L(\vec{v})=\langle\vec{v}, \nabla L\rangle$

如图，由于已经规定 $L$ 是线性映射，其图像必然是 $m+1$ 维空间中的一个 $m$ 维“平面”。现取此“平面”与自变量“平面”（同样是 $m$ 维空间）的 $m-1$ “交线”，此“交线”也自然是“直线”。由于此 $m-1$ 维”交线“在 $m$ 维自变量空间中，在该空间中必然只有唯一一个方向与其垂直。$\nabla L$ 就在这个方向。由几何学可以知道，图像上任意一点的高度，等于其在自变量空间的投影向量与 $\nabla L$ 的内积与 $\nabla L$ 点对应的高度的乘积。

可微函数的梯度：设 $f$ 在 $\mathbf{x}^{*} \in E$ 处可微, 称 $\mathrm{d} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)$ 的梯度为 $f$ 在 $\mathbf{x}^{*} \in E$ 处的梯度, 记为 $\nabla f\left(\mathbf{x}^{*}\right)$, 即对任意向量 $\mathbf{v}$,

\[ \partial_{\mathbf{v}} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\left\langle\mathbf{v}, \nabla f\left(\mathbf{x}^{*}\right)\right\rangle \]

对以 $\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{m}$ 为基的内积空间，要想求 $\nabla f\left(\mathbf{x}^{*}\right)$ 在这组基底下的坐标。设

\[ \nabla f\left(\mathbf{x}^{*}\right)=c^{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+c^{m} \mathbf{v}_{m}, \quad \mathbf{v}=\xi^{1} \mathbf{v}_{1}+\cdots+\xi^{m} \mathbf{v}_{m} \]

这里 $\mathbf v$ 是任意向量。则有 $\left\langle\mathbf{v}, \nabla f\left(\mathbf{x}^{*}\right)\right\rangle=\sum_{1 \leq i, j \leq m} \xi^{i}\left\langle\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}\right\rangle c^{j}=\left(\xi^{1}, \ldots, \xi^{m}\right)\left(\left\langle\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}\right\rangle\right)_{m \times m}\left(\begin{array}{c}c^{1} \\ \vdots \\ c^{m}\end{array}\right)$ $\mathrm{d} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \mathbf{v}=\partial_{1} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \xi^{1}+\cdots+\partial_{m} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \xi^{m}=\left(\xi^{1}, \ldots, \xi^{m}\right)\left(\begin{array}{c}\partial_{1} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \\ \vdots \\ \partial_{m} f\left(\mathbf{x}^{*}\right)\end{array}\right)$

由梯度定义知以上两式应对任意 $\xi^{1}, \ldots, \xi^{m}$ 恒等, 所以

\[ \left(\left\langle\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}\right\rangle\right)_{m \times m}\left(\begin{array}{c} c^{1} \\ \vdots \\ c^{m} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \partial_{1} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \\ \vdots \\ \partial_{m} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \end{array}\right) \]

因此梯度的表达式：

\[ \begin{aligned} \nabla f\left(\mathbf{x}^{*}\right) &=\left(\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{m}\right)\left(\begin{array}{c} c^{1} \\ \vdots \\ c^{m} \end{array}\right)=\left(\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{m}\right)\left(\left\langle\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}\right\rangle\right)_{m \times m}^{-1}\left(\begin{array}{c} \partial_{1} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \\ \vdots \\ \partial_{m} f\left(\mathbf{x}^{*}\right) \end{array}\right) \\ &=\sum_{i, j} g^{i j} \partial_{j} f \mathbf{v}_{i} \end{aligned} \]

其中 $\left(g^{i j}\right)_{m \times m}=\left(\left\langle\mathbf{v}_{i}, \mathbf{v}_{j}\right\rangle\right)_{m \times m}^{-1}$ ，为度量矩阵的逆。对于一般的 $x,y,z$ 坐标系，为单位矩阵。

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